numpy

numpy 学习记录

一、矩阵运算

numpy 的矩阵运算没有 matlab 来的那么显然，因为有一些隐式的规则，因此记录一下相关用法。首先需要注意的是所有的容器类型全都是 np.ndarray。共分为以下几种数据结构：

• 标量（Scalar）：一个单独的数字，没有维度
• 向量（Vector）：一维数组
• 矩阵（Matrix）：二维数组
• 张量（Tensor）：三维或更多维度的数组

1.1 元素级运算

正确示例

代码：

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

b = np.array([[7, 8, 9],
              [10, 11, 12]])

print(a + 1)
print(a - 2)
print(a * b)
print(a / b)

结果：

[[2 3 4]
 [5 6 7]]
[[-1  0  1]
 [ 2  3  4]]
[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]
[[0.14285714 0.25       0.33333333]
 [0.4        0.45454545 0.5       ]]

错误示例：两矩阵形状必须完全一致，否则报错

代码：

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

b = np.array([[7, 8, 9],
              [10, 11, 12],
              [13, 14, 15]])

print(a + 1)
print(a - 2)
print(a * b)
print(a / b)

结果：

[[2 3 4]
 [5 6 7]]
[[-1  0  1]
 [ 2  3  4]]
 
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[11], line 10
      8 print(a + 1)
      9 print(a - 2)
---> 10 print(a * b)
     11 print(a / b)

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (3,3) 

1.2 向量级运算

分为两类：内积（点积）和外积（叉积）

• 内积相当于 $A_{1\times n}\times B_{n\times 1}=x$
• 外积相当于 $A_{n\times 1} \times B_{1\times m}=C_{n\times m}$

内积（点积）

常用 @ 运算符、np.dot(a, b) 方法。运算结果为标量。此时可以理解为矩阵运算，但是由于 numpy 的广播机制，我们并不需要保证对齐为 $1\times n,n\times 1$，即可自动进行正确运算。

正确示例

代码：

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([7, 8, 9])

c1 = a @ b
c2 = np.dot(a, b)

print(type(c1), c1)
print(type(c2), c2)

结果：

<class 'numpy.int32'> 50
<class 'numpy.int32'> 50

错误示例：两向量长度必须完全一致，否则报错

代码：

a = np.array([1, 2, 3, 3])
b = np.array([7, 8, 9])

c1 = a @ b
c2 = np.dot(a, b)

print(type(c1), c1)
print(type(c2), c2)

结果：报「矩阵没有对齐」的错误

---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[17], line 4
      1 a = np.array([1, 2, 3, 3])
      2 b = np.array([7, 8, 9])
----> 4 c1 = a @ b
      5 c2 = np.dot(a, b)
      7 print(type(c1), c1)

ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 3 is different from 4)

外积（叉积）

常用 np.outer(a, b) 方法。运算结果为矩阵。

代码：

a = np.array([1, 2, 3, 3])
b = np.array([7, 8, 9])

c = np.outer(a, b)

print(type(c))
print(c)

结果：

<class 'numpy.ndarray'>
[[ 7  8  9]
 [14 16 18]
 [21 24 27]
 [21 24 27]]

进阶。如果参与运算的不是向量，而是二维矩阵甚至高维张量，该方法会将非向量数据展开成向量进行运算

代码：

a = np.array([[[[[1, 2]]], [[[3, 4]]], [[[5, 6]]]], [[[[7, 8]]], [[[9, 1]]], [[[2, 3]]]]])
b = np.array([[3, 4, 5], [1, 1, 1]])

c = np.outer(a, b)

print(type(c))
print(a.shape)
print(b.shape)
print(c.shape)
print(c)

结果：

<class 'numpy.ndarray'>
(2, 3, 1, 1, 2)
(2, 3)
(12, 6)
[[ 3  4  5  1  1  1]
 [ 6  8 10  2  2  2]
 [ 9 12 15  3  3  3]
 [12 16 20  4  4  4]
 [15 20 25  5  5  5]
 [18 24 30  6  6  6]
 [21 28 35  7  7  7]
 [24 32 40  8  8  8]
 [27 36 45  9  9  9]
 [ 3  4  5  1  1  1]
 [ 6  8 10  2  2  2]
 [ 9 12 15  3  3  3]]

1.3 矩阵级运算

常用 @ 运算符、np.dot(a, b) 方法。运算结果为矩阵。

正确示例

代码：

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

b = np.array([[7, 8, 9],
              [10, 11, 12]])

c1 = a @ b.T
c2 = np.dot(a, b.T)

print(a.shape, b.shape, c1.shape, c2.shape)
print(c1)
print(c2)

结果：

(2, 3) (2, 3) (2, 2) (2, 2)
[[ 50  68]
 [122 167]]
[[ 50  68]
 [122 167]]

错误示例1：全都是矩阵。此时与向量自动对齐不同，矩阵运算需要我们手动进行对齐

代码：

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

b = np.array([[7, 8, 9],
              [10, 11, 12]])

c1 = a @ b
c2 = np.dot(a, b.T)

print(a.shape, b.shape, c1.shape, c2.shape)
print(c1)
print(c2)

结果：报「矩阵没有对齐」的错误

---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[49], line 7
      1 a = np.array([[1, 2, 3],
      2               [4, 5, 6]])
      4 b = np.array([[7, 8, 9],
      5               [10, 11, 12]])
----> 7 c1 = a @ b
      8 c2 = np.dot(a, b.T)
     10 print(a.shape, b.shape, c1.shape, c2.shape)

ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 3)

错误示例2：既有矩阵也有向量。此时同样需要我们手动对齐，否则报错

代码：

a = np.array([1, 2, 3])

b = np.array([[7, 8, 9],
              [10, 11, 12]])

c = a @ b

print(a.shape, b.shape, c.shape)
print(c)

结果：报「矩阵没有对齐」的错误

---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[52], line 6
      1 a = np.array([1, 2, 3])
      3 b = np.array([[7, 8, 9],
      4               [10, 11, 12]])
----> 6 c = a @ b
      8 print(a.shape, b.shape, c.shape)
      9 print(c)

ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 3)

小结

我们可以将上述总结为「元素级」运算和「矩阵级」运算。向量和矩阵统称为矩阵。张量运算机制暂时不予讨论

• 对于元素级运算。如果矩阵直接和标量运算就没有约束；如果和另外一个矩阵进行标量运算就需要保证两个矩阵的形状完全一致；
• 对于矩阵级运算。如果参与运算的只有向量则无需对齐；如果参与运算的存在矩阵则必须手动对齐。并且此时 @ 运算符和 np.dot(a, b) 完全相同。